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形式r %e^(%i t)の複素値を形式a + b %iに変換します。
ここで、rは大きさで、tは位相です。
rとtは、同じサイズの1次元配列です。
配列のサイズは2のべき乗である必要はありません。
関数が戻ると、入力配列の元の値は、実部aと虚部bに置き換えられます。
出力は、以下のように計算されます。
a = r cos(t) b = r sin(t)
polartorectは、recttopolarの逆関数です。
load("fft")はこの関数をロードします。
fftも参照してください。
形式a + b %iの複素値を形式r %e^(%i t)に変換します。
ここで、aは実部で、bは虚部です。
aとbは同じサイズの1次元配列です。
配列のサイズは2のべき乗である必要はありません。
関数が戻ると、入力配列の元の値は、大きさrと偏角tに置き換えられます。
出力は、以下のように計算されます。
r = sqrt(a^2 + b^2) t = atan2(b, a)
計算された偏角は、-%piから%piの範囲の中にあります。
recttopolarはpolartorectの逆関数です。
load("fft")はこの関数をロードします。
fftも参照してください。
複素逆高速Fourier変換を計算します。
yは、変換されるデータを含むリストもしくは配列です。
要素の数は2のべき乗でなければいけません。
要素は、数リテラル(整数、有理数、浮動小数点、多倍長浮動小数点)、シンボル定数、
もしくは、aとbが数リテラルもしくはシンボル定数である式a + b*%i
でなければいけません。
inverse_fftは、yと同じタイプの新しいオブジェクトを返します。
yは変更されません。
結果はいつも浮動小数点、もしくはaとbが浮動小数点であるところの式
a + b*%iとして計算されます。
逆離散Fourier変換は、以下のように定義されます。
xを逆変換の出力とします。
jが0からn - 1まで変わる中、
x[j] = sum(y[k] exp(+2 %i %pi j k / n), k, 0, n - 1)
load("fft")はこの関数をロードします。
fft (正変換), recttopolar, polartorectも参照してください。
例:
実数データ。
(%i1) load ("fft") $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
(%i4) L1 : inverse_fft (L);
(%o4) [0.0, 14.49 %i - .8284, 0.0, 2.485 %i + 4.828, 0.0,
4.828 - 2.485 %i, 0.0, - 14.49 %i - .8284]
(%i5) L2 : fft (L1);
(%o5) [1.0, 2.0 - 2.168L-19 %i, 3.0 - 7.525L-20 %i,
4.0 - 4.256L-19 %i, - 1.0, 2.168L-19 %i - 2.0,
7.525L-20 %i - 3.0, 4.256L-19 %i - 4.0]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));
(%o6) 3.545L-16
複素数データ
(%i1) load ("fft") $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
(%i4) L1 : inverse_fft (L);
(%o4) [4.0, 2.711L-19 %i + 4.0, 2.0 %i - 2.0,
- 2.828 %i - 2.828, 0.0, 5.421L-20 %i + 4.0, - 2.0 %i - 2.0,
2.828 %i + 2.828]
(%i5) L2 : fft (L1);
(%o5) [4.066E-20 %i + 1.0, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
1.55L-19 %i - 1.0, - 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
1.0 %i + 1.0, 1.0 - 7.368L-20 %i]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));
(%o6) 6.841L-17
複素高速Fourier変換を計算します。
xは、変換されるデータを含むリストもしくは配列です。
要素の数は2のべき乗でなければいけません。
要素は、数リテラル(整数、有理数、浮動小数点、多倍長浮動小数点)、シンボル定数、
もしくは、aとbが数リテラルもしくはシンボル定数である式a + b*%i
でなければいけません。
fftは、xと同じタイプの新しいオブジェクトを返します。
xは変更されません。
結果はいつも浮動小数点、もしくはaとbが浮動小数点であるところの式
a + b*%iとして計算されます。
離散Fourier変換は、以下のように定義されます。
yを変換の出力とします。
kが0からn - 1まで変わる中、
y[k] = (1/n) sum(x[j] exp(-2 %i %pi j k / n), j, 0, n - 1)
データxが実数の時、
実係数aとbは以下のように計算することができます。
x[j] = sum(a[k]*cos(2*%pi*j*k/n)+b[k]*sin(2*%pi*j*k/n), k, 0, n/2)
ここで、
a[0] = realpart (y[0]) b[0] = 0
そして、kが1からn/2 - 1まで変わる中、
a[k] = realpart (y[k] + y[n - k]) b[k] = imagpart (y[n - k] - y[k])
そして、
a[n/2] = realpart (y[n/2]) b[n/2] = 0
load("fft")はこの関数をロードします。
inverse_fft (逆変換), recttopolar, polartorectも参照してください。
例:
実数データ。
(%i1) load ("fft") $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
(%i4) L1 : fft (L);
(%o4) [0.0, - 1.811 %i - .1036, 0.0, .6036 - .3107 %i, 0.0,
.3107 %i + .6036, 0.0, 1.811 %i - .1036]
(%i5) L2 : inverse_fft (L1);
(%o5) [1.0, 2.168L-19 %i + 2.0, 7.525L-20 %i + 3.0,
4.256L-19 %i + 4.0, - 1.0, - 2.168L-19 %i - 2.0,
- 7.525L-20 %i - 3.0, - 4.256L-19 %i - 4.0]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));
(%o6) 3.545L-16
複素数データ
(%i1) load ("fft") $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
(%i4) L1 : fft (L);
(%o4) [0.5, .3536 %i + .3536, - 0.25 %i - 0.25,
0.5 - 6.776L-21 %i, 0.0, - .3536 %i - .3536, 0.25 %i - 0.25,
0.5 - 3.388L-20 %i]
(%i5) L2 : inverse_fft (L1);
(%o5) [1.0 - 4.066E-20 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
- 1.008L-19 %i - 1.0, 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
1.0 %i + 1.0, 1.947L-20 %i + 1.0]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));
(%o6) 6.83L-17
サインとコサイン係数の計算。
(%i1) load ("fft") $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $
(%i4) n : length (L) $
(%i5) x : make_array (any, n) $
(%i6) fillarray (x, L) $
(%i7) y : fft (x) $
(%i8) a : make_array (any, n/2 + 1) $
(%i9) b : make_array (any, n/2 + 1) $
(%i10) a[0] : realpart (y[0]) $
(%i11) b[0] : 0 $
(%i12) for k : 1 thru n/2 - 1 do
(a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]),
b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k]));
(%o12) done
(%i13) a[n/2] : y[n/2] $
(%i14) b[n/2] : 0 $
(%i15) listarray (a);
(%o15) [4.5, - 1.0, - 1.0, - 1.0, - 0.5]
(%i16) listarray (b);
(%o16) [0, - 2.414, - 1.0, - .4142, 0]
(%i17) f(j) := sum (a[k]*cos(2*%pi*j*k/n) + b[k]*sin(2*%pi*j*k/n),
k, 0, n/2) $
(%i18) makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1);
(%o18) [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0]
デフォルト値: 0
fortindentは、fortranコマンドが表示する式の
式の左マージンインデントを制御します。
0は、標準のプリントアウト(すなわち6スペース)を与え、
正の値は、式を更に右に印字するようにします。
Fortran文としてexprを印字します。
出力行は、スペースでインデントされます。
もし行が長過ぎるなら、
fortranは継続行を印字します。
fortranは、指数演算子^を**として印字し、
複素数a + b %iを形式(a,b)で印字します。
exprは等式も取り、もしそうなら、fortranは、
等式の右辺を左辺に割り当てる割り当て文を印字します。
特に、もしexprの右辺が行列名なら、
fortranは、行列の要素それぞれに対する割り当て文を印字します。
もしexprがfortranが認識する何かでないなら、
エラーなしに、式がgrindフォーマットで印字されます。
fortranは、リスト、配列、関数について知りません。
fortindentは、fortranコマンドが表示する式の
式の左マージンインデントを制御します。
0は、標準のプリントアウト(すなわち6スペース)を与え、
正の値は、式を更に右に印字するようにします。
fortspacesがtrueの時、
fortranは、印字行それぞれを80カラムまでスペースで埋めます。
fortranは引数を評価します;
引数のクォートは評価を無効にします。
fortranはいつもdoneを返します。
例:
(%i1) expr: (a + b)^12$
(%i2) fortran (expr);
(b+a)**12
(%o2) done
(%i3) fortran ('x=expr);
x = (b+a)**12
(%o3) done
(%i4) fortran ('x=expand (expr));
x = b**12+12*a*b**11+66*a**2*b**10+220*a**3*b**9+495*a**4*b**8+792
1 *a**5*b**7+924*a**6*b**6+792*a**7*b**5+495*a**8*b**4+220*a**9*b
2 **3+66*a**10*b**2+12*a**11*b+a**12
(%o4) done
(%i5) fortran ('x=7+5*%i);
x = (7,5)
(%o5) done
(%i6) fortran ('x=[1,2,3,4]);
x = [1,2,3,4]
(%o6) done
(%i7) f(x) := x^2$
(%i8) fortran (f);
f
(%o8) done
デフォルト値: false
fortspacesがtrueの時、
fortranは、印字行それぞれを80カラムまでスペースで埋めます。
Horner規則に従って、もし指定されないならxを主変数として使い、
exprの再配列された表現を返します。
xは、exprの標準有理式形の主変数が使われる場合には、省略できます。
もしexprが数値的に評価されるものなら、
hornerは、時々、安定性が改善されます。
また、もしMaximaがFortranで走らせるプログラムを生成するのに使われるなら、
役に立ちます。
stringoutも参照してください。
(%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
2
(%o1) 1.0E-155 x - 5.5 x + 5.2E+155
(%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
(%o2) (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
(%i3) ev (expr, x=1e155);
Maxima encountered a Lisp error:
floating point overflow
Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
(%i4) ev (expr2, x=1e155);
(%o4) 7.0E+154
式exprもしくは関数fの根を、閉区間[a, b]上で見つけます。
式exprは等式でも問題ありません。
その場合、find_rootはlhs(expr) - rhs(expr)の根を探します。
Maximaはexprもしくはfを[a, b]上で評価可能であり、
exprもしくはfは連続と仮定して、find_rootは根もしくは、
もし複数の根があるなら、根の1つを見つけることを保証します。
find_rootは初め、2分木探索を適用します。
もし対象の関数が十分滑らかなら,find_rootは代わりに線形内挿を適用します。
f_find_rootはfind_rootの多倍長浮動小数点版です。
関数は多倍長浮動小数点数値を使って計算され、多倍長浮動小数点の結果が返されます。
そうでなければ、bf_find_rootはfind_rootと同一で、以下の記述はbf_find_rootに同様に適用されます。
find_rootの精度はabserrとrelerrに支配されます。
それらはfine_rootへのオプションのキーワード引数です。
これらのキーワード引数は形式key=valを取ります。
キーワード引数は
abserr根での関数値の望まれる絶対エラー。デフォルトは、find_root_absです。
relerr根の望まれる相対エラー。デフォルトはfind_root_relです。
懸案の関数がabserr以下の何かに評価される時、または、
近似値x_0, x_1の差がrelerr * max(abs(x_0), abs(x_1))以下になるなら、find_rootは停止します。
find_root_absとfind_root_relのデフォルト値はともに零です。
find_rootは、探索区間の端で対象の関数が異なる符号を持つことを期待します。
関数が両方の終端での数に評価されて、それらの数が同じ符号を持つ時、
find_rootの振る舞いは、find_root_errorに支配されます。
find_root_errorがtrueの時、
find_rootはエラーメッセージを出力します。
そうでなければ、find_rootはfind_root_errorの値を返します。
find_root_errorのデフォルト値はtrueです。
もしfが探索アルゴリズムの中の任意のステップで、数以外の何かに評価するなら、
find_rootは、部分的に評価されたfind_root式を返します。
aとbの順序は無視されます;
根が探索される区間は[min(a, b), max(a, b)]です。
例:
(%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
x
(%o1) f(x) := sin(x) - -
2
(%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
(%o2) 1.895494267033981
(%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
(%o3) 1.895494267033981
(%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
(%o4) 1.895494267033981
(%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
(%o5) 1.895494267033981
(%i6) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100);
x
(%o6) find_root(%e = y, x, 0.0, 100.0)
(%i7) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
(%o7) 2.302585092994046
(%i8) log (10.0);
(%o8) 2.302585092994046
(%i9) fpprec:32;
(%o9) 32
(%i10) bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
(%o10) 2.3025850929940456840179914546844b0
(%i11) log(10b0);
(%o11) 2.3025850929940456840179914546844b0
exprをxの1変数関数と考えて、
Newton法による、expr = 0の近似解を返します。
探索は、x = x_0で始まり、
(xの現在値で評価されたexprを使った)abs(expr) < epsが成り立つまで続きます。
終了テストabs(expr) < epsがtrueまたはfalseに評価される限り、
newtonは、未定義変数がexprの中に現れることを許します。
このように、 exprは数に評価される必要はありません。
load("newton1")はこの関数をロードします。
realroots, allroots, find_root, mnewtonも参照してください。
例:
(%i1) load ("newton1");
(%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
(%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
(%o2) 1.570675277161251
(%i3) ev (cos (u), u = %);
(%o3) 1.2104963335033528E-4
(%i4) assume (a > 0);
(%o4) [a > 0]
(%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
(%o5) 1.00030487804878 a
(%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
2
(%o6) 6.098490481853958E-4 a
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